Добрый день!
А я по простоте душевной, всегда считал, что слово "мица" происходит от "мичманка" - так тоже некогда называли переделанные фуражки. С другой стороны, если это "грибан", то "мица", возможно, от "мицелий", хотя трудно ожидать от нашего брата такой глубины познаний...
Кстати, разновидностью "мицы" можно считать "нахимовку" - фуражку, где перешит не только верх, но и козырек подрезан и пришит так, что почти лежит на лбу.
